| |
▼Ｃｙｐｅｒｕｓｕさん：
>△ＡＢＣにおいて、角Ａ，Ｂ，Ｃの対辺の長さをそれぞれａ，ｂ，ｃとします。
>ａ，ｂ，ｃの間に、（ｂ＋ｃ）：（ｃ＋ａ）：（ａ＋ｂ）＝５：６：７という関係が成り立つとき、次の比を求めなさい。
>
>（１）ｓｉｎＡ：ｓｉｎＢ：ｓｉｎＣ
>（２）ｃｏｓＡ：ｃｏｓＢ：ｃｏｓＣ
>（３）ｔａｎＡ：ｔａｎＢ：ｔａｎＣ
>
（１）与えられた３辺に対する関係式は、
（ｂ＋ｃ）／５：（ｃ＋ａ）／６：（ａ＋ｂ）／７
と変形できる。
さらにｋ＞０を満たすパラメーターｋを用いて、
ｂ＋ｃ＝５ｋ…1.
ｃ＋ａ＝６ｋ…2.
ａ＋ｂ＝７ｋ…3.
と表せる。
（1.＋2.＋3.）÷２より、
ａ＋ｂ＋ｃ＝９ｋ…4.
を得る。これが△ＡＢＣの３辺の和を示す。
4.−1.より、ａ＝４ｋ
4.−2.より、ｂ＝３ｋ
4.−3.より、ｃ＝２ｋ
よって、ａ：ｂ：ｃ＝４ｋ：３ｋ：２ｋ…5.
＝４：３：２
となる。
正弦定理により、ｓｉｎＡ：ｓｉｎＢ：ｓｉｎＣ＝ａ：ｂ：ｃとなるので、
ｓｉｎＡ：ｓｉｎＢ：ｓｉｎＣ＝４：３：２
（２） 5.を余弦定理の式
ｃｏｓＡ＝（ｂ＾２＋ｃ＾２−ａ＾２）／２ｂｃ
ｃｏｓＢ＝（ｃ＾２＋ａ＾２−ｂ＾２）／２ｃａ
ｃｏｓＣ＝（ａ＾２＋ｂ＾２−ｃ＾２）／２ａｂ
に代入して、
ｃｏｓＡ＝｛（−３）ｋ＾２／１２ｋ＾２｝＝−（１／４）
ｃｏｓＢ＝（１１ｋ＾２／１６ｋ＾２）＝１１／１６
ｃｏｓＣ＝（７ｋ＾２／８ｋ＾２）＝７／８
この結果より、
ｃｏｓＡ：ｃｏｓＢ：ｃｏｓＣ＝−４：１１：１４
（３）（１），（２）より、
ｔａｎＡ：ｔａｎＢ：ｔａｎＣ
＝（ｓｉｎＡ／ｃｏｓＡ）：（ｓｉｎＢ／ｃｏｓＢ）：（ｓｉｎＣ／ｃｏｓＣ）
＝−７７：２１：１１
|
|
