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ここ何年か、何か夜寝つけないときに、“頭を疲れさせたら…眠れるかも”ということで、関数電卓を使って、他の人がはたから見ると、“こいつ変”と思われそうな計算をぼーっとするまでやっています。
それは
X^ｎ＋Y^n…＊
という式の中に自然数を入れてできる数の素因数分解です。
n≧３ならば
X^n＋Y^n＝Z＾n
をみたすX，Y，Zの自然数解は存在しない
というフェルマーの最終定理のことを知ってから、“もしかして…この＊式にかたっぱしから数を代入し、素因数分解したら、何か面白そうな傾向が出てこないかな？”と強く思い、暇なときに、電卓をはたいてきました。
こないだ…ふっと、ある特徴に気づきました！
どうも…＊の式から出た数は、X≠Yのとき、 ２ｎｍ＋１（ｍは自然数）型の素数を、少なくとも1個は素因数として持つようです。
X＾3＋Y^3＝（X+Y）（X^2−XY＋Y^2）
の場合、素因数分解すると…X≠Yならば、
X+Y由来の素因数×（６の倍数＋１型の素数）
という形になってきます。複数の6の倍数＋１型素数が続く場合もあります。
X^4＋Y^4の場合は
８の倍数＋１型の素数単独か、やはり8の倍数＋１どうしの積
という素因数分解の結果が出てきます。
もしかして…フェルマー氏がいいたかったのは、“楕円関数の有理点”のことじゃなくって…この関係についての何か規則性について、ご存じだったことじゃなかろうか？
という気がしてきます。
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